quinta-feira, 9 de julho de 2009

Fatoração

    Quando a gente fatora uma expressão,  na verdade,  a gente esta transformando
esta expressão em fatores de uma multiplicação. Para conseguirmos isto utilizamos
algumas técnicas tais como:

1. Fator comum em evidência

2. Agrupamento de termos semelhantes

3. Diferença de dois quadrados

4. Trinômio quadrado perfeito.

5. Trinômio do segundo grau.


1. Fator comum em evidência: 12x2 + 4x3 - 8x4

Nesta técnica a gente verifica cada um dos termos, procurando ver se os
coeficientes (o que fica na na frente das variáveis x, y etc), podem ser
divididos por um certo número. Neste caso 12, +4, -8 podem ser divididos
por 4. Então, colocamos o número 4 em evidência, ou seja, antes de um
parênteses, dividimos cada um dos coeficientes por 4 e escrevemos o
resultado no lugar o próprio coeficiente. Veja:

12x2 + 4x3 - 8x4
4 (3
x2 + 1x3 - 2x4). Observe que se multiplicarmos o 4 pelos novos coeficientes
3, 1 e -2 iremos ter de volta os coeficientes originais 12, 4 e -8.

1. Fator comum em evidência (Continuação) :
12x2 + 4x3 - 8x4 = 4 (3x2 + 1x3 - 2x4)

Agora precisamos verificar se podemos dividir cada um dos termos que estão dentro
dos parênteses, por um mesmo fator literal (que contém letra). Neste caso podemos
notar que o fator x2 serve para dividir cada uma dos termos da expressão.
Desta forma, escrevemos o x2 antes dos parênteses, ao lado do número 4, e dividimos
cada um dos termos por ele. Veja como fica:

4x2 (3 + 1x - 2x2)


Fatoração de um polinômio


Fatorar um polinômio é escrever o mesmo como multiplicação de dois ou mais polinômios.

Os processos para fatorar polinômios são denominados: fatoração por agrupamento, fatoração completa, fatoração da diferença de dois quadrados, fatoração pelo fator comum em evidência, fatoração do trinômio quadrado perfeito, fatoração do trinômio do segundo grau, fatoração da soma ou diferença de dois cubos, fatoração por artifício.


Fatoração pelo fator comum em evidência

Considere o polinômio 14ab + 7bc, seu fator comum em evidência é 7b, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 14ab:7b = 2a e 7bc:7b = c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de 14ab + 7bc = 7b.(2a + c). O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

15x + 9y = 3.(5x + 3y)

50 − 10y = 10.(5 − y)


Fatoração por agrupamento

Observe o polinômio abb2 + 2a − 2b. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios à partir do polinômio principal, veja:

abb2 + 2a − 2b = (abb2) + (2a − 2b), logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

abb2 = b(ab)

2a − 2b = 2(ab), obtemos a fatoração de abb2 + 2a − 2b = b(ab) + 2(ab), nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: (ab)(b + 2). A forma fatorada de abb2 + 2a − 2b = b(ab) + 2(ab) = (ab)(b + 2).

Outro exemplo:

a4a5 + a2ba3b = a2(a2a3) + b(a2a3) = (a2a3)(a2 + b)

Fatoração da diferença de dois quadrados

Considere o polinômio m2n2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo \sqrt{m^2}=m menos a raiz quadrada do segundo termo -\sqrt{n^2}=-n, logo temos \sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: (mn).(m + n), logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n), ou simplesmente m2n2 = (mn).(m + n).

Outros exemplos:

(n + 8)2 − 1 = [(n + 8) + 1].[(n + 8) − 1] = [n + 8 + 1].[n + 8 − 1] = [n + 9].[n + 7]

a4b4 = (a22 + b2).(a2b2) = (ab).(a + b).(a2 + b2)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Considere o polinômio 4x2 + 4xy + y2, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa (2x + y)2, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio 4x2 + 4xy + y2, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo \sqrt{4x^2}=2x e a raiz quadrada do terceiro termo \sqrt{y^2}=y, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (4xy): 2.2x.y = 4xy, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2.

Outro exemplo:

x^2-8xy+16y^2=\sqrt{x^2}-\sqrt{16y^2}=x-4y(2.x.(-4y)=-8xy)=(x-4y)^2 ou x2 − 8xy + 16y2 = (x − 4y)2


fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

(a + b).(a2ab + b2) = a3a2b + ab2 + a2bab2 + b3 = a3 + b3, tendo este cálculo como base, podemos dizer que a3 + b3 = (a + b).(a2ab + b2), logo, a fatoração do polinômio a3 + b3 é igual à raiz cúbica do primeiro termo \sqrt[3]{a^3}=a, mais a raiz cúbica do segundo termo \sqrt[3]{b^3}=b vezes o quadrado do primeiro termo a2, o produto dos dois termos com o sinal oposto ab mais o quadrado do segundo termo b2, formando:a3 + b3 = (a + b).(a2ab + b2).

Outros exemplos:

x3y3 = (xy).(x2 + xy + y2)

\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right )

Fatoração do trinômio do segundo grau

Observe o trinômio x2 − 2x − 35, cuja forma fatorada é (x − 7).(x + 5), para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

a2 + 8a + 12 = (a + 2).(a + 6)

x2 − 15x − 100 = (x − 20).(x + 5)

atoração completa

A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x4y4, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: x4y4 = (x2y2).(x2 + y2), note que o primeiro termo da fatoração [(x2y2)] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x4y4 = (x2y2).(x2 + y2) = (xy).(x + y).(x2 + y2), assim, temos a fatoração completa do polinômio x4y4.

Outros exemplos:

\frac{x^6}{64}-\frac{y^6}{729}=\left (\frac{x^3}{8}-\frac{y^3}{27} \right ).\left (\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27} \right )=\left [\left (\frac{x}{2}-\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ].\left [\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ]

3x2 − 6x + 3 = 3.(x2 − 2x + 1) = 3.(x − 1)2

a2 + 2ab + b2c2 = (a + b)2c2 = (a + bc)(a + b + c)




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